Portfolion tilastollisen analyysin teoria

Mean-Variance -analyysin avulla voi optimoida salkun riski-tuottosuhdetta

Modernin portfolioteorian mukaan sijoitusideaa voidaan mitata keskimääräisellä tuotolla sekä tuottojen varianssilla. Ajatuksena on se, että sijoittajia ei ole valmis lisäämään riskiä, jos ei saa parempaa tuottoa. Puhtaasti matemaattisesti ajateltuna portfolion hallinnassa pyritään optimoimaan paras mahdollinen riski-tuotto -suhde eli tehokas portfolio (engl. efficient portfolio).

Analyysin ryhtymisessä on syytä hyväksyä, että riski tarkoittaa osakkeen tuoton vaihtelevuutta, jota voidaan mitata keskihajonnalla (engl. standard deviation). Matemaattisesti keskihajonta on tuottojen hajontaa keskimääräisen tuoton ympärillä. Oletuksena on se, että tuottotasolle voidaan laskea tietty todennäköisyys. Lisäksi keskihajonta pysyy melko stabiilina yli ajan. Sijoitusmaailmaan riskin määräytyminen keskihajonnan perusteella tulee Harry Markowitzin klassisesta portfolioteoriasta. Active Portfolio Management -kirjan mukaan Harry Markowitzin riskin määritelmästä on tullut alan standardi.

Perustellusti voidaan kysyä, kuvastaako osakkeen historiallisten tuottojen volatiliteetti sen todellista riskiä? Eikö osakkeen riskisyyteen vaikuttaisi enemmän esimerkiksi sen markkina-aseman pysyvyys, toimialan muutosdynamiikka tai velkaisuus.  Mutta harjoituksen ilosta leikitään, että keskihajonta on oikea riskimittari. Saman kritiikki mallille voidaan esittää myös odotetulle tuotolle. Kertooko osakkeen historiallinen tuottokehitys tulevasta kehityksestä? Esimerkiksi Ahlstromilla on tuskin negatiivinen odotettu tuotto, kun yhtiön toiminta on kääntynyt positiiviseen suuntaan.

Ensimmäinen askel on laskea portfoliolle tuotto sekä hajonta. Tähän matemaattiset kaavat ovat

Kaava 1. Portfolion odotettu tuotto:  E(Rp) = Sum ( Wj * E(Rj) ), missä Wj on osakkeen j paino salkussa ja E(Rj) on osakkeen j odotettu tuotto

Kaava 2. Portfolion keskihajonta: STp = neliöjuuri (sum (Wi^2 * VARi) + 2*sum sum Wi * Wj * COVij). VAR  = varianssi, ST = keskihajonta ja COV = kovarianssi

Kuten kaavoista 1. ja 2. voidaan päätellä portfolion riskin ja tuoton vaihtokauppa riippuu kolmesta osatekijästä sekä kunkin osakkeen painosta salkusta.

1.  Osakkeen odotettu tuotto (tuotto). Esimerkiksi yksinkertaisesti viikkotuoton keskiarvo yli ajan.

2. Osakkeen tuoton keskihajonta (riski).  

3. Salkun osakkeiden välinen korrelaatio.

Tehokkaan portfolion merkitys

Kun yllä olevat vaiheet on laskettu, päästään itse pihviin eli portfolion riski-tuoton optimointiin tai tehokkaan portfolion löytämiseen. Matemaattisesti tämä portfolio voidaan laskea seuraavasti:

Minimoi STp (kaava 2.) alisteisena siten, että E(Rp) = vakio (kaava 1.) ja sum Wi = 1.

Suomeksi tämä tarkoittaa sitä, että pidetään portfolion tuotto tietyllä tasolla ja pyritään löytämään salkun osakkeiden painoa muuttamalla mahdollisimman pieni portfolion keskihajonta. Lopputuloksena saadaan alla olevan kuvan mukainen sininen käyrä. Kullekin portfolion odotetulle tuotolle on löydetty minimi riskitaso.

Omaa salkkua en kuitenkaan ajatellut lähteä optimoimaan yllä kuvatulla menetelmällä. Kuitenkin olettaen osakkeen volatiliteetin voivan kertoa edes vähän riskistä,  niin uutta sijoituskohdetta harkitessa on syytä katsoa, mihin sen sijoittaa tuotto-riski -akselilla.

Yllä kuvatussa Mean-variance –analyysissä omasta mielestäni tärkein komponentti on osakkeiden välisen korrelaation merkitys (3. kohta).  Mitä vähemmän korrelaatiota osakkeilla sitä enemmän hajauttamisesta saa hyötyä.  Yllä olevassa kuvassa on havainnollistettu tehokkaiden portfolioiden kuvaajia eri korrelaation asteilla (-1 ja 1 välillä).

Punainen kuvaaja = korrelaatio on 1. Tällöin kaikki osakkeet liikkuvat aina samaan suuntaan. Hajautuksesta ei saada mitään hyötyä, vaan tuottoa pystytään kasvattamaan ainoastaan lisäriskiä ottamalla.    

Vihreä katkoviivainen = korrelaatio on -1. Tällöin osakkeet liikkuvat täysin vastakkaisiin suuntiin. Teoriassa portfolion riski on mahdollista täysin minimoida ja hajautuksesta saadaan täysi hyöty.

Sininen kuvaaja = korrelaatio on lähellä nollaa. Hajauttamisesta saadaan jonkin verran hyötyä ja se kasvaa mitä negatiivisemmaksi korrelaatio muuttuu. Ajatuksena on saada salkun korrelaatiota negatiiviseen suuntaan (sinistä kuvaaja kohti vihreää), jolloin tuotto pysyy samana mutta riski pienenee.          

Korrelaatiokerroinmatriisi auttaa ymmärtämään osakkeiden välisen riippuvuuden

Kaavan 2. kovarianssi on tunnuslukuna hieman vaikea tulkita, sillä tunnusluku on prosenteissa. Tästä syystä olen salkkun korrelaatioiden ymmärtämiseksi käyttänyt korrelaatiokerrointa (engl. correlation coeffient), joka mittaa kahden osakkeen välistä lineaarista suhdetta. Tunnusluvussa käytännössä standardoidaan kovarianssi. Matemaattisesti lausuttuna

Kaava 3. Korrelaatiokerroin  Pij = COVij / (STi * STj).

Kertoimesta tekee selkeän se, että tunnusluku voi saada arvon -1 ja 1 väliltä. -1 merkitsee sitä, että kahden osakkeen tuotto on päinvastainen (negatiivinen riippuvuus). Nolla tarkoittaa, että osakkeiden tuottokehitys on toisistaan riippumaton. Ajatuksena on se, että salkun varianssi tai riski pienenee mitä negatiivisempia ovat osakkeiden väliset korrelaatiokertoimet. Käytännössä salkun riski pitäisi pienentyä, jos uuden osakkeen korrelaatiokerroin on negatiivinen suhteessa salkun olemassa oleviin osakkeisiin.  Salkkuni korrelaatioiden selvittämiseksi laadin matriisin, josta käy ilmi kunkin osakeparin korrelaatiokerroin.    

Betan laskeminen auttaa ymmärtämään osakkeen riskisyyttä suhteessa yleiseen markkinakehitykseen

Yllä kuvattu mean-variance –analyysii liittyy osakkeen ja osakkeiden välisten tuottojen tilastollisten muuttujien ymmärtämiseen. Toinen näkökulma on suhteuttaa osakkeen tuottojen muutos yleistä osakemarkkinan kehitystä vastaan. Tätä kuvaa beta-tunnusluku, joka mittaa osakkeen tuoton kausaalista suhdetta markkinatuottoon nähden. Osakkeen betan ollessa 1 sen kurssi heiluu samalla tavalla kuin markkina. Vastaavasti betan ylittäessä yhden osakkeen kurssi heiluu huomattavasti voimakkaammin kuin yleinen markkina.  Betan ollessa nolla osake ei korreloi ollenkaan markkinamuutoksen kanssa. Matemaattisesti beta voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Kaava 4. Bi = Cov (Ri, Rm) / Var (Rm)

Capital asset pricing modelin (CAPM) mukaan betan avulla pystyttäisiin määrittämään osakkeen odotettu tuotto seuraavasti:

Kaava 5. E(Ri) = Rf + Bi * (E(Rm)  – Rf), missä Rf on riskitön tuottoja  E(Rm) markkinan odotettu tuotto, jotka siis tiedetään.

Kaavasta 5. voi olla monta mieltä. Itse en kuitenkaan koe siitä olevan hirveästi hyötyä omassa sijoitustoiminnassa. CAPM mahdollistaa erinäisiä tuottolaskuja, minkä vuoksi se vaikuttaa enemmän salkunhoitajien työkalulta. He voivat mallin avulla perustella toimintaansa asiakkaalle, kun on jotain lukuja esittää. Sen sijaan riskin suhteellisena mittarina beta on ihan ok työkalu. Oman salkun betan saan helposti laskettu osakkeiden betan painoilla seuraavasti:

Kaava 6.   Bp = sum Bi * Wi

Eräs mahdollinen investointistrategia on sijoittaa alhaisen betan omaaviin osakkeisiin.  AQR Capital Managementin tutkimuksen mukaan Buffetin tarunomaisen menestyksen takana on sijoittaminen alhaisen betan osakkeisiin vivuttamalla salkkua. Teoriassa korkean betan osakkeiden pitäisi tarjota korkeampaa tuottoa, mutta tutkimuksen mukaan alhaisen betan osakkeet ovat elävässä elämässä menestyneet paremmin riski huomioituna.  Buffettein seuraaminen kuulostaa houkuttelevalta idealta.           

Portfolion tilastollinen analyysi – teoria on paljon yksinkertaisempi kuin käytäntö

Kaikki yllä oleva on vain teoriaa. Yllä kuvattuja kaavoja on helppo opetella tenttiä varten ja unohtaa ne musteen kuivuttua. Laskutoimitusten tekeminen annetulla lähtödatalla ei myöskään ole niin vaikeaa. Sen sijaan kaavojen soveltaminen omaan sijoitustyöhön osoittautui ainakin itselle haasteeksi.  Eri teorioista piti yrittää valita ne parhaat palat, joista voisi olla hyötyä. Sen jälkeen piti päättää, miten koodataan valituista menetelmistä omaa sijoitustoimintaa tukevia ohjelmia. Ilman automaatiota tilastollisten menetelmien hyöty on vähäinen. Tavoitteena oli luoda mahdollisimman yksinkertainen työkalu, jolla potentiaalisten ja uusien sijoitusten istuvuutta olemassa olevaan salkkuun olisi helppo makustella. Lopputuloksena on päivitetty salkkutyökalu, joka sisältää tilastollisen analyysin osuuden.

Ohessa jotain kokemuksia työkalun rakentamisesta. Koodi toimi ainakin omassa iMacissäni nopeasti mutta heikompi tehoisessa Surfacessa tuloksia joutuu odottamaan huomattavasti pidempään.

Lähtödatan muokkaus

Datan hakemiseen käytin jo aikaisemmin esittelemääni menetelmää. Työkalua varten jouduin keräämään kaikkien salkkuyhtiöiden samalla ANALYSIS-sheetillä, josta saattoi tilastollisen analyysin toteuttaa. Yahoon eri maiden osaketietoa ei ole täysin homogeenistä, sillä viikkokohtaiset tuotot se saattoi laskea eri päiville riippuen pörssin kohdemaasta. Tämä saattoi johtua siitä, että eri maiden pörssien vapaapäivät eivät aina osu samalle päivälle. Ominaisuus aiheutti sen, että samalle päivämäärälle ei ollut aina olemassa osakekurssia. Ongelman ratkaisin siten, että DATA-sheetistä keräsin ANALYSIS-sheetille kunkin osakekurssin vlookup-funktion avulla perustunen päivämäärään. Tämä johti siihen, että jouduin interpoloimaan matchäämättömiä tyhjiä lukuja viereisen ja edellisen arvon perusteella.

Päiväkohtaisen osakekurssin valitsin osingosta oikaistuna (”adjusted price”), mikä tulee valmiiksi laskettuna Yahoolta. Päiväkohtainen tuotto on laskettu (continuously compounded) menetelmällä, kuten Financial Modeling -kirjassa on tehty.    

Betan laskeminen ei ole niin yksiselitteistä

Matemaattisesti määriteltynä betan laskennan koodaus ei sinänsä vaadi paljon. Harva kirja kuitenkaan ottaa kantaa siihen, miten lähtödata tulisi määritellä. Tulisiko tuoton laskennassa käyttää kuukausi, viikko vai päiväkohtaisia eroja? Toinen kysymys on siinä, miten pitkältä ajanjaksolta osakekurssit tulisi laskea. Mitä lyhempi ajanjakso sitä paremmin beta reagoi yhtiön viimeaikaisiin muutoksiin. Tämän ongelman huomaa, kun tarkastelee eri taloudellista tietoa tarjoavien tahojen beta-lukuja.  Itse hieman yllätyin, kun Bloomberg ja Yahoon tietokannassa beta ei ole sama. Tämä johtuu siitä, että Yahoo käyttää viiden vuoden tuottolukuja ja Bloomberg kolmen vuoden (defaulttina). Lisäksi beta ei ole stabiili, vaan se muuttuu ajan kuluessa. Kokeilujen jälkeen päädyin kultaiseen keskitiehen eli valitsin kolmen vuoden aikajänteen viikkokohtaisilla tuottoluvuilla. Jätin kuitenkin työkaluun mahdollisuuden säätää arvoja, jotta portfolion tietoja voi herkistellä myöhemmin.

Betaa laskettaessa törmäsin myös siihen, että vertailuindeksiä ei ollutkaan niin helppo valita. Periaatteessa se olisi helppoa, jos salkussa olisi vaan yhden alueen osakkeita. Esimerkiksi jenkkiosakkeille selkeä benchmark on S&P500. Itse kuitenkin tavoittelen globaalia salkkua, joten markkinaindeksiksi voisi ajatella MSCI Worldia. Ongelmaksi tässä muodostui se, että Yahoosta ei löytynyt MSCI:lle riittävän likvidiä tickeriä. Tästä syystä jouduin tyytymään toiseksi käytetyimpään vaihtoehtoon eli S&P500. Tämä ei ollut paras mahdollinen mutta ainut toimiva, kun Yahoo on ainut julkisesti osakekursseja tarjoava taho.   

Korrelaatiokerroin matriisin laadinta

Tämä osoittautui ehkä hankkeeni suurimmaksi haasteeksi. Kahden osakkeen pari kovarianssin laskemiksi piti löytää ANALYSIS-sheetiltä. Samalla piti muodostaa matriisi, jossa kukin osake on vaaka- ja pystyakselilla. Tulosten tulkitsemisen helpottamiseksi koodasin värein ne osakeparit, joiden korrelaatio on voimakkain.   

Lähteet

Simon Benninga: Financial Modeling

Richard C. Grinold and Ronald N. Kahn: Active Portfolio Management

CFA Level I: Portfolio Management

CFA Level II: Portfolio Management